Ball and surface arithmetics

Viac o knihe

Bei höherdimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten stellt die Riemann-Roch-Theorie die grundlegende Verbindung von analytischen und topologischen Eigenschaften her. Dieses Buch behandelt komplexe Flächen und führt neue rationale diskrete Invarianten, die sogenannten Höhen, ein. Ziel ist es, deren Anwendbarkeit auf aktuelle Probleme zu demonstrieren. Eine sofortige Anwendung sind allgemeine Hurwitz-Formeln für die klassischen Invarianten, die zuvor nur in Spezialfällen bekannt waren. Ein weiteres wichtiges Thema ist die Theorie der Picardschen Modulflächen, zu der neue Ergebnisse präsentiert werden. Im letzten Kapitel wird eine Ergänzung des Satzes von Bogomolov-Miyaoka-Yau mithilfe der Höhentheorie gezeigt. Die Monographie bietet eine arithmetische Theorie orbitaler Flächen mit cusp-Singularitäten. Die orbitalen Höhen werden als Hauptinvarianten eingeführt, sowohl für die Flächen als auch für die Komponenten orbitaler Zyklen. Diese Invarianten sind rationale Zahlen mit vorteilhaften funktorischen Eigenschaften, die präzise Hurwitz-Formeln und eine feine Schnitttheorie für orbitalen Zyklen ermöglichen. Bei Ball-Quotienten-Flächen entsprechen sie den Volumina fundamentaler Domänen. Bei Picard-modularen Flächen werden sie durch spezielle Werte von Dirichlet-L-Reihen oder höhere Bernoulli-Zahlen entdeckt. Ein zentrales Ergebnis ist ein allgemeines Proportionalitätstheorem, das ein starkes Kriterium zur Klassifikation von Picard-m